假设你有一个包含数百个特征的数据集，却对该数据所属领域几乎没有什么了解，并且你需要去探索数据中存在的隐模式，那可谓是数无形时少直觉，根本无从下手。当数据各特征间存在高度的线性相关，这时你可能首先会想到使用 PCA 对数据进行降维处理，但是 PCA 是一种线性算法，它不能解释特征之间的复杂多项式关系，而 t-SNE (t distributed stochastic neighbor embedding)是一种用于挖掘高维数据的非线性降维算法，它能够将多维数据映射到二维或三维空间中，因此 t-SNE 非常适用于高维数据的可视化操作 t-SNE  是由 SNE 发展而来，因此本文将先介绍 SNE  的基本原理，之后再扩展到 t-SNE 。

1SNE 基本原理

SNE 是通过仿射变换将数据点映射到相应概率分布上，主要包括下面两个步骤：

1. 通过在高维空间中构建数据点之间的概率分布P，使得相似的数据点有更高的概率被选择，而不相似的数据点有较低的概率被选择；

2. 然后在低维空间里重构这些点的概率分布Q，使得这两个概率分布尽可能相似。

令输入空间是 ，输出空间为  。

不妨假设含有个样本数据 ，其中，降维后的数据为  ，。 是先将欧几里得距离转化为条件概率来表达点与点之间的相似度，即首先是计算条件概率 , 其正比于  和 之间的相似度，的计算公式为：

在这里引入了一个参数  ,对于不同的数据点 取值亦不相同，因为我们关注的是不同数据点两两之间的相似度，故可设置 。对于低维度下的数据点 ，通过条件概率  来刻画 与 之间的相似度，的计算公式为：

同理，设置 。

如果降维的效果比较好，局部特征保留完整，那么有  成立，因此通过优化两个分布之间的 KL 散度构造出的损失函数为：

这里的  表示在给定高维数据点  时，其他所有数据点的条件概率分布；  则表示在给定低维数据点  时，其他所有数据点的条件概率分布。从损失函数可以看出，当  较大  较小时，惩罚较高；而  较小  较大时，惩罚较低。换句话说就是高维空间中两个数据点距离较近时，若映射到低维空间后距离较远，那么将得到一个很高的惩罚；反之，高维空间中两个数据点距离较远时，若映射到低维空间距离较近，将得到一个很低的惩罚值。也就是说，SNE 的损失函数更关注于局部特征，而忽视了全局结构。

2 SNE 对应目标函数的求解

首先不同的数据点对应着不同的  ， 的熵会随着   的增加而增加。

 引入困惑度的概念，通过二分搜索的方式来寻找一个最佳 。其中困惑度指： 

这里的  是   的香农熵，即：

困惑度可以理解为某个数据点附近有效近邻点的个数 SNE 对困惑度的调整具有鲁棒性，通常选择 5~50 之间，给定之后通过二分搜索的方式即可寻找到合适的  。通过对 SNE 的损失函数求梯度可得：

在迭代初始化阶段，可以使用较小的  对高斯分布进行初始化。为了加速优化过程和避免陷入局部最优解，梯度中需要使用一个相对较大的动量，即参数更新过程中除了使用当前梯度，还要引入之前梯度累加的指数衰减项，迭代更新过程如下： 

这里的  表示迭代 t 次的解， 表示学习率， 表示迭代 t 次的动量。

3 对称SNE

优化  的一种替换思路是使用联合概率分布来替换条件概率分布，即 P 是高维空间里数据点的联合概率分布，Q 是低维空间里数据点的联合概率分布，此时的损失函数为：

同样的  ，这种改进下的 SNE 称为对称 SNE ，因为它的先验假设为对 有  成立，故概率分布可以改写成：

这种改进方法使得表达式简洁很多，但是容易受到异常点数据的影响，为了解决这个问题通过对联合概率分布定义修正为：  ，这保证了 ，使得每个点对于损失函数都会有贡献。对称 SNE 最大的优点是简化了梯度计算，梯度公式改写为：

研究表明，对称 SNE 和 SNE 的效果差不多，有时甚至更好一点。

4  t-SNE

t-SNE 在对称 SNE 的改进是，首先通过在高维空间中使用高斯分布将距离转换为概率分布，然后在低维空间中，使用更加偏重长尾分布的方式来将距离转换为概率分布，使得高维度空间中的中低等距离在映射后能够有一个较大的距离。

从图中可以看到，在没有异常点时，t 分布与高斯分布的拟合结果基本一致。而在第二张图中，出现了部分异常点，由于高斯分布的尾部较低，对异常点比较敏感，为了照顾这些异常点，高斯分布的拟合结果偏离了大多数样本所在位置，方差也较大。相比之下，t 分布的尾部较高，对异常点不敏感，保证了其鲁棒性，因此拟合结果更为合理，较好的捕获了数据的全局特征。

使用 t 分布替换高斯分布之后  的变化如下：

此外，随着自由度的逐渐增大，t 分布的密度函数逐渐接近标准正态分布，因此在计算梯度方面会简单很多，优化后的梯度公式如下：

 总的来说，t-SNE 的梯度更新具有以下两个优势：

• 对于低维空间中不相似的数据点，用一个较小的距离会产生较大的梯度让这些数据点排斥开来；

• 这种排斥又不会无限大，因此避免了不相似的数据点距离太远。

5 与 PCA 降维效果对比

在 MNIST 数据集上，该数据集的每张数字图片大小为 28 X 28，也就是说特征维度为728 ，通过使用sklearn 算法库中的 t-SNE 和 PCA 算法进行降维可视化测试，测试结果如下图所示：

from sklearn.manifold import TSNEfrom sklearn.datasets import load_iris,load_digitsfrom sklearn.decomposition import PCAimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np%config InlineBackend.figure_format = "svg"
digits = load_digits()X_tsne = TSNE(n_components=2, random_state=33).fit_transform(digits.data)X_pca = PCA(n_components=2).fit_transform(digits.data)
font = {"color": "darkred",        "size": 13,         "family" : "serif"}
plt.style.use("dark_background")plt.figure(figsize=(8.5, 4))plt.subplot(1, 2, 1) plt.scatter(X_tsne[:, 0], X_tsne[:, 1], c=digits.target, alpha=0.6,             cmap=plt.cm.get_cmap('rainbow', 10))plt.title("t-SNE", fontdict=font)cbar = plt.colorbar(ticks=range(10)) cbar.set_label(label='digit value', fontdict=font)plt.clim(-0.5, 9.5)plt.subplot(1, 2, 2)plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=digits.target, alpha=0.6,             cmap=plt.cm.get_cmap('rainbow', 10))plt.title("PCA", fontdict=font)cbar = plt.colorbar(ticks=range(10)) cbar.set_label(label='digit value', fontdict=font)plt.clim(-0.5, 9.5)plt.tight_layout()

从实验结果可以看出t-SNE 算法降维后的可视化效果要远远好于 PCA 算法。

6 总结

t-SNE  算法详细过程如下：

1. 数据准备：，其中  ；

2. 初始化困惑度参数用于求解  ，迭代次数  、学习率  和动量  ；

3. 开始优化

• 计算高维空间中的条件概率  ;

• 令   ；

• 使用正态分布  随机初始化  矩阵；

• 从  进行迭代 
  

• 计算低维空间中的条件概率  ；

• 计算损失函数  对  的梯度；

• 更新  

• 输出  。

4. 算法结束。

t-SNE 算法其实就是在 SNE 算法的基础上增加了两个改进：

• 把 SNE 修正为对称 SNE ，提高了计算效率，效果稍有提升；

• 在低维空间中采用了 t 分布替换原来的高斯分布，解决了高维空间映射到低维空间所产生的拥挤问题，优化了 SNE  过于关注局部特征而忽略全局特征的问题 。